Answer for HW5

1 相互作用的守恒量（注意使用 Noether 定理）

能量： $L$ 不显含 $t$ ，得到对于无限小时间平移 $t \to t + ϵ$ ， $L$ 将不变，即 $H \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{q} - L = \frac{1}{2} m_{1} {\dot{\vec{r}}}_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} {\dot{\vec{r}}}_{2}^{2} + V (| {\vec{r}}_{2} - {\vec{r}}_{1} |) = c o n s t .$ 也不显含时间，即守恒。
动量：对于无限小空间平移 $\vec{r} (t) \to \vec{r} (t) + \vec{ϵ}$ ， $L^{'} = \frac{1}{2} m_{1} {\dot{\vec{r}}}_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} {\dot{\vec{r}}}_{2}^{2} - V (| {\vec{r}}_{2} + \vec{ϵ} - {\vec{r}}_{1} - \vec{ϵ} |) = L$ 不变，因此变分 $δ L$ 不变，对应动量守恒。
角动量：三维旋转群 $S O (3)$ 的生成元可以写作 $(J_{i})_{j k} = - ϵ_{i j k}$ , 于是欧氏空间中的无限小旋转可表述为

r_{i} \to r_{i}^{'} = e^{\vec{θ} \cdot J_{i}} \cdot \vec{r} = [I + θ_{j} (J_{i})_{j k}] r_{k} = r_{i} - ϵ_{i j k} θ_{j} r_{k} = r_{i} + ϵ_{i j k} θ_{k} r_{j}, i = x, y, z

δ r_{i} = ϵ_{i j k} θ_{k} r_{j} o r δ \vec{r} = - \vec{θ} \times \vec{r}

δ {\dot{r}}_{i} = ϵ_{i j k} θ_{k} {\dot{r}}_{j}

由于 $L$ 仅依赖于速度的平方 ${\dot{\vec{r}}}_{a}^{2}, (a = 1, 2)$ 和相对距离 $| {\vec{r}}_{2} - {\vec{r}}_{1} |$ ，而旋转是正交变换 (保持长度/距离不变)，即 ${\dot{\vec{r}}}_{a}^{' 2} = {({\dot{r}}_{a, i} + δ {\dot{r}}_{a, i})}^{2} = {\dot{r}}_{a, i}^{2} + 2 {\dot{r}}_{a, i} δ {\dot{r}}_{a, i} + O (θ^{2}) = {\dot{r}}_{a, i}^{2} + 2 {\dot{r}}_{a, i} (ϵ_{i j k} θ_{k} {\dot{r}}_{a, j}) + O (θ^{2})$ 。由于 ${\dot{r}}_{a, i} (ϵ_{i j k} θ_{k} {\dot{r}}_{a, j}) = θ_{k} (ϵ_{i j k} {\dot{r}}_{a, i} {\dot{r}}_{a, j}) = θ_{k} {({\dot{\vec{r}}}_{a} \times {\dot{\vec{r}}}_{a})}_{k} = 0$ ，所以 ${\dot{\vec{r}}}_{a}^{' 2} = {\dot{\vec{r}}}_{a}^{2}$ 。

以及， $| {\vec{r}}_{2}^{'} - {\vec{r}}_{1}^{'} |^{2} = {| ({\vec{r}}_{2} - \vec{θ} \times {\vec{r}}_{2}) - ({\vec{r}}_{1} - \vec{θ} \times {\vec{r}}_{1}) |}^{2} = | \vec{R} - \vec{θ} \times \vec{R} |^{2} = | \vec{R} |^{2} + O (θ^{2}) = | \vec{R} |^{2}$ ，其中 $\vec{R} = {\vec{r}}_{2} - {\vec{r}}_{1}$ ，因此势能 $V$ 不变。满足旋转对称性，变分 $δ L$ 不变，即角动量守恒。

2 阿特伍德机的对称性

假设中间 $3 m$ 的滑轮坐标为 $z$ ，那么绳长不变约束是：

x + y + z = C ⟹ \dot{z} = - \dot{x} - \dot{y}

于是拉氏量是：

\begin{aligned} L & = \frac{1}{2} (4 m {\dot{x}}^{2} + 3 m {\dot{z}}^{2} + m {\dot{y}}^{2}) - m g (4 x + 3 z + y) \\ \equiv \frac{1}{2} (4 m {\dot{x}}^{2} + 3 m (\dot{x} + \dot{y})^{2} + m {\dot{y}}^{2}) - m g (x - 2 y) \\ = \frac{1}{2} m (7 {\dot{x}}^{2} + 6 \dot{x} \dot{y} + 4 {\dot{y}}^{2}) - m g (x - 2 y) \end{aligned}

假设在平移 $x \to x^{'} = x + ϵ, y \to y^{'} = y + k ϵ, k = \frac{y_{ϵ}}{x_{ϵ}}$ 下满足对称性：

\begin{aligned} 0 = δ L = L^{'} - L & \approx \frac{\partial L}{\partial x} δ x + \frac{\partial L}{\partial y} δ y + \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} δ \dot{x} + \frac{\partial L}{\partial \dot{y}} δ \dot{y} \\ = \frac{\partial L}{\partial x} ϵ + \frac{\partial L}{\partial y} k ϵ \\ = m g (2 k - 1) ϵ \end{aligned}

得到 $k = \frac{y_{ϵ}}{x_{ϵ}} = \frac{1}{2}$ ，另外，Noether 定理给出的守恒荷的表达式是：

J = \sum_{α} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{α}} δ q_{α} - G + \int^{t} \frac{\partial L}{\partial t} δ t d t

在这里后两项为 0，于是守恒荷是：

\begin{aligned} J & = \sum_{α} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{α}} δ q_{α} = p_{x} δ x + p_{y} δ y \\ = m (7 \dot{x} + 3 \dot{y}) ϵ + m (4 \dot{y} + 3 \dot{x}) \cdot \frac{1}{2} ϵ \\ = \frac{1}{2} m ϵ (17 \dot{x} + 10 \dot{y}) \end{aligned}

对应的守恒量就是 $2 p_{x} + p_{y} = m (17 \dot{x} + 10 \dot{y})$ 。

3 电荷在电磁场中运动的对称性

(a)

直接代入(3)到(1)得到拉氏量在 boost 下不变：

\begin{aligned} L^{'} & = \frac{m}{2} (- {\dot{t_{ϵ}}}^{2} + {\dot{x_{ϵ}}}^{2}) \\ = \frac{m}{2} (- (\cosh ϵ \dot{t} - \sinh ϵ \dot{x})^{2} + (- \sinh ϵ \dot{t} + \cosh ϵ \dot{x})^{2}) \\ = \frac{m}{2} (- {\dot{t}}^{2} + {\dot{x}}^{2}) = L \end{aligned}

为了找到守恒荷，可以将无限小 boost 视为一种平移，即取 $ϵ \to 0$ ：

[\begin{matrix} t_{ϵ} \\ x_{ϵ} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \cosh ϵ & - \sinh ϵ \\ - \sinh ϵ & \cosh ϵ \end{matrix}] [\begin{matrix} t \\ x \end{matrix}] \approx [\begin{matrix} 1 & - ϵ \\ - ϵ & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} t \\ x \end{matrix}]

也即

δ t = - ϵ x, δ x = - ϵ t

于是守恒荷是：

\begin{aligned} J & = \sum_{α} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{α}} δ q_{α} = p_{x} δ x + p_{t} δ t \\ = m \dot{x} \cdot (- ϵ t) - m \dot{t} \cdot (- ϵ x) \\ = ϵ m (- \dot{x} t + \dot{t} x) \end{aligned}

对应的守恒量就是 $m (- \dot{x} t + \dot{t} x)$ 。

该守恒量的物理含义

假设有多个粒子，将 x 选取为系统质心的坐标，在题示拉氏量所表示的自由运动下， $x = x_{0} + v t \to \dot{x} = v \dot{t}$ ，于是守恒量 $m (- \dot{x} t + \dot{t} x) = m (\dot{t} x - (\dot{t} v) t) = m \dot{t} (x - v t) = c o n s t . \to x = x_{0} + v t$ ，恰好前后相容，即系统的惯性中心保持匀速运动（更一般的，我们常说这个守恒量反映能量中心保持匀速运动，因为 $E = m c^{2}$ ），这个守恒量其实没什么意思。

(b)

同理，根据 $δ t = - ϵ x, δ x = - ϵ t \to δ \dot{t} = - ϵ \dot{x}, δ \dot{x} = - ϵ \dot{t}$ ，已经知道 $\frac{m}{2} (- {\dot{t}}^{2} + {\dot{x}}^{2}) = L$ 在 boost 下不变，所以只需考虑 $L_{e} = e (- φ \dot{t} + \frac{1}{c} A \dot{x})$ ，这里 $\frac{d G (x^{μ}, τ)}{d τ} = δ L_{e}$ 而不是为 0，是因为题目要求让作用量不变，而不是让拉氏量不变：

\begin{aligned} \frac{d G (x^{μ}, τ)}{d τ} = δ L_{e} = L_{e}^{'} - L_{e} & \approx \frac{\partial L_{e}}{\partial {\dot{x}}^{μ}} δ {\dot{x}}^{μ} + \frac{\partial L_{e}}{\partial x^{μ}} δ x^{μ} \\ = \frac{\partial L_{e}}{\partial \dot{t}} (- ϵ \dot{x}) + \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} (- ϵ t) + \frac{\partial L_{e}}{\partial t} (- ϵ x) + \frac{\partial L}{\partial x} (- ϵ t) \\ = - ϵ e [- φ \dot{x} + A \dot{t} - \frac{\partial φ}{\partial t} \dot{t} x + \frac{\partial A}{\partial t} \dot{x} x - \frac{\partial φ}{\partial x} \dot{t} t + \frac{\partial A}{\partial x} \dot{x} t] \\ = - ϵ e {\dot{t} (A - \frac{\partial φ}{\partial t} x - \frac{\partial φ}{\partial x} t) - \dot{x} (φ - \frac{\partial A}{\partial t} x - \frac{\partial A}{\partial x} t)} \end{aligned}

即

d G = - ϵ e {(A - \frac{\partial φ}{\partial t} x - \frac{\partial φ}{\partial x} t) d t - (φ - \frac{\partial A}{\partial t} x - \frac{\partial A}{\partial x} t) d x}

这是一个全微分，所以需要满足：

\frac{\partial}{\partial x} (A - \frac{\partial φ}{\partial t} x - \frac{\partial φ}{\partial x} t) = - \frac{\partial}{\partial t} (φ - \frac{\partial A}{\partial t} x - \frac{\partial A}{\partial x} t)

即

x \frac{\partial}{\partial t} (\frac{\partial φ}{\partial x} + \frac{\partial A}{\partial t}) + t \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial φ}{\partial x} + \frac{\partial A}{\partial t}) = 0

注意到 2 维时空中 $E = - \nabla φ - \frac{\partial A}{\partial t} = - \frac{\partial φ}{\partial x} - \frac{\partial A}{\partial t}$ ，上式变为：

x \frac{\partial E}{\partial t} + t \frac{\partial E}{\partial x} = 0

这是一个一阶线性齐次偏微分方程，可以使用特征线法来求解这个方程，特征线的微分方程为：

\frac{d x}{t} = \frac{d t}{x} = \frac{d E}{0} ⟹ x d x = t d t, d E |_{沿 着 特 征 线} = 0 ⟹ x^{2} - t^{2} = C

可知 $E$ 在特征线上是常数，所以 $E$ 必须满足：

E (x, t) = f (x^{2} - t^{2}) = f (s^{2}) = - \frac{\partial φ}{\partial x} - \frac{\partial A}{\partial t}

即电场本身就是洛伦兹不变的，特征线就是世界线 $s^{2} = - t^{2} + x^{2}$ 。

注意，加入电磁场后，广义动量变为

p_{μ} = \frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}^{μ}} = - m {\dot{x}}_{μ} - e A_{μ}

\Rightarrow \begin{aligned} p_{t} & = - m \dot{t} - e φ \\ p_{x} & = m \dot{x} + e A \end{aligned}

于是守恒荷是：

\begin{aligned} J & = \sum_{α} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{α}} δ q_{α} - G \\ = p_{x} δ x + p_{t} δ t - G \\ = m (- \dot{x} t + \dot{t} x) - e (t A - x ϕ) - G \end{aligned}